Вопрос школьника
В круге с центром О провели хорду АВ. Найдите площадь заштрихованного сегмента, если АВ = а, АОВ = а.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти площадь сегмента круга, ограниченного хордой АВ и дугой круга между точками А и В.
Для начала найдем радиус круга. Радиус круга равен расстоянию от центра О до точки А или В, так как АОВ — равнобедренный треугольник. Значит, радиус круга равен а.
Далее, найдем площадь сектора круга, ограниченного дугой АВ и радиусом ОА. Площадь сектора можно найти по формуле:
Sсектора = (α/360)πr²,
где α — центральный угол, соответствующий дуге АВ.
Центральный угол можно найти, используя теорему о центральном угле: он равен удвоенному углу АОВ, то есть 2α = 2∠АОВ = 2∠BOV, где В — середина хорды АВ.
Таким образом, α = ∠AOB = ∠BOA = (180 — 2∠BOV)/2 = 90 — ∠BOV.
Значит, площадь сектора равна:
Sсектора = ((90 — ∠BOV)/360)πa².
Теперь найдем площадь треугольника АОВ. Так как АОВ — равнобедренный треугольник, то высота, опущенная на основание АВ, является медианой и биссектрисой. Значит, она делит угол АОВ пополам, и ∠BOV = ∠AOV/2.
Тогда площадь треугольника АОВ равна:
Sтреугольника = (1/2) * ОА * ОВ * sin(∠AOV) = (1/2) * a * a * sin(2∠BOV).
Наконец, площадь сегмента круга равна разности площади сектора и площади треугольника:
Sсегмента = Sсектора — Sтреугольника = ((90 — ∠BOV)/360)πa² — (1/2) * a * a * sin(2∠BOV).
Таким образом, мы нашли формулу для площади заштрихованного сегмента круга, если даны длина хорды АВ и угол АОВ.
