Вопрос школьника
В кубе АВСDА1В1С1D1 точки Т, K и О — середины отрезков А1В1, В1С1 и DС1 соответственно. Постройте: а) точку пересечения прямой KТ с плоскостью DD1С1; б) прямую, по которой пересекаются плоскости ТKО и DD1С1.
Ответ от учителя
а) Для нахождения точки пересечения прямой KТ с плоскостью DD1С1 необходимо найти уравнения этих объектов.
Уравнение прямой KТ можно найти, зная координаты точек K и Т. Так как точка Т является серединой отрезка А1В1, то ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек А1 и В1:
Т(xТ, yТ, zТ) = ((xА1 + xВ1)/2, (yА1 + yВ1)/2, (zА1 + zВ1)/2)
Аналогично, координаты точки K можно найти как среднее арифметическое координат точек В1 и С1:
K(xK, yK, zK) = ((xВ1 + xС1)/2, (yВ1 + yС1)/2, (zВ1 + zС1)/2)
Теперь мы знаем координаты двух точек, через которые проходит прямая KТ. Уравнение этой прямой можно записать в параметрическом виде:
x = xТ + t(xK — xТ)
y = yТ + t(yK — yТ)
z = zТ + t(zK — zТ)
где t — параметр, принимающий любые значения.
Уравнение плоскости DD1С1 можно найти, зная координаты трех ее точек. Так как точка О является серединой отрезка ТК, то ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек Т и К:
О(xО, yО, zО) = ((xТ + xК)/2, (yТ + yК)/2, (zТ + zК)/2)
Теперь мы знаем координаты трех точек, через которые проходит плоскость DD1С1. Уравнение этой плоскости можно записать в общем виде:
Ax + By + Cz + D = 0
где A, B, C и D — коэффициенты, которые можно найти из координат точек.
Подставляем параметрические уравнения прямой KТ в уравнение плоскости DD1С1 и находим значение параметра t, при котором прямая пересекает плоскость:
A(xТ + t(xK — xТ)) + B(yТ + t(yK — yТ)) + C(zТ + t(zK — zТ)) + D = 0
Решаем это уравнение относительно t и находим координаты точки пересечения прямой и плоскости.
б) Для нахождения прямой, по которой пересекаются плоскости ТКО и DD1С1, необходимо найти их уравнения и найти их пересечение.
Уравнение плоскости ТКО можно найти, зная координаты трех ее точек. Мы уже нашли координаты точек Т и К, а координаты точки О можно найти как среднее арифметическое координат точек Д1 и С1:
О(xО, yО, zО) = ((xD1 + xС1)/2, (yD1 + yС1)/2, (zD1 + zС1)/2)
Теперь мы знаем координаты трех точек, через которые проходит плоскость ТКО. Уравнение этой плоскости можно записать в общем виде:
Ax + By + Cz + D = 0
где A, B, C и D — коэффициенты, которые можно найти из координат точек.
Уравнение плоскости DD1С1 мы уже нашли в пункте а).
Найдем направляющий вектор прямой, по которой пересекаются эти плоскости. Для этого возьмем векторное произведение нормалей плоскостей:
n1 x n2
где n1 и n2 — нормали плоскостей ТКО и DD1С1 соответственно.
Нормаль плоскости можно найти из ее уравнения. Например, для плоскости ТКО:
n1 = (A, B, C)
Аналогично, для плоскости DD1С1:
n2 = (A’, B’, C’)
Теперь мы знаем направляющий вектор прямой, по которой пересекаются плоскости. Осталось найти точку, через которую она проходит. Эта точка может быть найдена как точка пересечения прямой KТ с плоскостью DD1С1, которую мы уже нашли в пункте а).
Таким образом, мы нашли уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости ТКО и DD1С1.
