Вопрос школьника
В квадрате ABCD отметили точку М так, что треугольник АМВ — равносторонний. Докажите, что треугольник CMD — равнобедренный.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что треугольник CMD является равнобедренным, нужно показать, что его боковые стороны равны.
Рассмотрим треугольник АМВ. Так как он равносторонний, то его стороны равны друг другу: АМ = МВ = ВА.
Также заметим, что сторона АМ является диагональю квадрата ABCD, а значит, она делит его на два равных прямоугольных треугольника.
Таким образом, мы можем записать:
АМ² = АВ² + МВ²
АВ² = АМ²/2
МВ² = АМ²/2
Теперь рассмотрим треугольник CMD. Он имеет две боковые стороны: МС и CD.
Заметим, что сторона МС является биссектрисой угла CMD, так как она делит его на два равных угла (углы МСД и МСА равны, так как сторона АМ равна стороне МВ).
Также заметим, что сторона CD является биссектрисой угла CDM, так как она делит его на два равных угла (углы СДМ и СДА равны, так как сторона АС равна стороне СВ).
Таким образом, мы можем записать:
МС/CD = АМ/АС
МС = АМ*CD/АС
Так как АВ² = АМ²/2, то АС² = 2АВ² = АМ².
Подставляя это значение в предыдущее уравнение, получаем:
МС = АМ*CD/АС = АМ*CD/√(2АВ²) = АМ*CD/АВ√2
Аналогично, можно показать, что:
CD = АМ*МС/АС = АМ*МС/АВ√2
Таким образом, мы получили, что МС/CD = CD/МС, то есть боковые стороны треугольника CMD равны друг другу.
Следовательно, треугольник CMD является равнобедренным.
