Вопрос школьника
В наборе 7 гирь. Арбуз можно уравновесить тремя гирями, можно четырьмя, а можно и пятью. Докажите, что одну из гирь набора можно уравновесить несколькими другими.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле.
Предположим, что ни одну из гирь нельзя уравновесить несколькими другими. Тогда каждая гиря должна быть необходима для уравновешивания арбуза.
Рассмотрим все возможные комбинации гирь, которые можно использовать для уравновешивания арбуза. Если мы используем только три гири, то у нас есть всего одна комбинация гирь. Если мы используем четыре гири, то у нас есть несколько комбинаций гирь, но все они должны содержать три гири, которые мы уже использовали в первом случае. Если мы используем пять гирь, то у нас есть еще больше комбинаций гирь, но все они должны содержать три гири, которые мы уже использовали в первых двух случаях.
Таким образом, мы имеем три комбинации гирь, каждая из которых содержит три гири, которые мы уже использовали. Но у нас есть всего семь гирь, и каждая гиря может быть использована только один раз. Противоречие.
Следовательно, наше предположение было неверным, и существует гиря, которую можно уравновесить несколькими другими.
