Вопрос школьника
В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно нарисовать наклонную треугольную призму и обозначить известные величины:
Здесь AB и AC — боковые ребра призмы, BC — основание, BD и CD — высоты боковых граней, BE и CF — высоты призмы.
Из условия задачи известно, что AB и AC перпендикулярны, а ребро AD равно 24 см и отстоит от ребер BC и AC на 12 см и 35 см соответственно. Значит, мы можем записать следующие уравнения:
AB^2 + BD^2 = AD^2
AC^2 + CD^2 = AD^2
BC = BD + CD
Подставляя второе уравнение в первое, получаем:
AB^2 + BD^2 = AC^2 + CD^2
Вычитая из этого уравнения первое уравнение, получаем:
AB^2 — AC^2 = BD^2 — CD^2
Заметим, что AB и AC — катеты прямоугольного треугольника ABC, а BD и CD — катеты прямоугольных треугольников ABD и ACD. Значит, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:
AB^2 = BC^2 — AC^2
AC^2 = BC^2 — AB^2
BD^2 = AD^2 — AB^2
CD^2 = AD^2 — AC^2
Подставляя эти выражения в предыдущее уравнение, получаем:
BC^2 — 2AB^2 = BD^2 — CD^2 = (BD + CD)(BD — CD) = BC(BD — CD)
Значит, мы можем выразить BC через AB:
BC = (2AB^2 + BC(BD — CD))/BD
Подставляя известные значения, получаем:
24 = (2AB^2 + 24(12 — 35))/BD
BD = 15
Теперь мы можем найти высоты призмы:
BE^2 = AB^2 — BD^2 = AB^2 — 225
CF^2 = AC^2 — CD^2 = AC^2 — 225
Подставляя известные значения, получаем:
BE = sqrt(AB^2 — 225)
CF = sqrt(AC^2 — 225)
Также мы можем найти площадь боковой поверхности призмы:
S = BC(BE + CF) = 24(sqrt(AB^2 — 225) + sqrt(AC^2 — 225))
Осталось найти AB и AC. Для этого заметим, что треугольник ABC подобен треугольнику ABD, поэтому:
AB/BD = BC/AD
AB = BC*BD/AD = 24*15/sqrt(24^2 — 35^2) = 360/7
Аналогично:
AC = BC*CD/AD = 24*35/sqrt(24^2 — 35^2) = 840/7
Подставляя все известные значения, получаем:
S = 24(sqrt((360/7)^2 — 225) + sqrt((840/7)^2 — 225)) = 720sqrt(2)/7 — 240sqrt(10)/7 ≈ 98.6 см^2
Ответ: площадь боковой поверхности призмы равна примерно 98.6 см^2.
