Вопрос школьника
В настольной игре забивают в лунку шарики. Вероятность того, что из четырех шариков ребенок забьет в лунку хотя бы один, равна 0,9919. Какова вероятность забить в лунку каждый из шариков в отдельности, если принять, что для всех попыток вероятность забить в лунку шарик одна и та же?
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть событие A — забить в лунку хотя бы один шарик, а событие B — забить в лунку каждый из шариков в отдельности. Тогда:
P(A) = 0,9919 — вероятность забить хотя бы один шарик
P(B|A) — вероятность забить каждый шарик при условии, что хотя бы один шарик забит
Так как вероятность забить каждый шарик одинакова, то P(B|A) = P(B). Тогда:
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A’) * P(A’)
где A’ — событие, противоположное A (не забить ни одного шарика).
Так как вероятность забить каждый шарик в отдельности не зависит от других шариков, то P(B|A’) = (1/2)^4 = 1/16. Тогда:
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A’) * P(A’) = P(B|A) * 0,9919 + 1/16 * (1 — 0,9919) = P(B|A) * 0,9919 + 0,000625
Осталось найти P(B|A). Для этого воспользуемся формулой условной вероятности:
P(B|A) = P(B ∩ A) / P(A)
Заметим, что событие B ∩ A эквивалентно событию B, так как если забиты все шарики, то они забиты и хотя бы один. Тогда:
P(B|A) = P(B) / P(A)
P(A) уже известна — 0,9919. Осталось найти P(B):
P(B) = P(B|A) * 0,9919 + 0,000625
P(B|A) = (P(B) — 0,000625) / 0,9919
P(B|A) = (P(B) — 0,000625) / 0,9919 = P(B) / 0,9919 — 0,000630
Подставляем это выражение в первую формулу:
P(B) = P(B|A) * 0,9919 + 0,000625 = (P(B) / 0,9919 — 0,000630) * 0,9919 + 0,000625
P(B) = P(B) — 0,000625 + 0,000625
Ответ: вероятность забить каждый из шариков в отдельности равна 1/2.
