Вопрос школьника
В объёме V1 = 1 см3 при давлении p = 0,1 МПа находится всего NE = 2,7*10^19 молекул азота. Число молекул, вертикальная составляющая скорости которых лежит в интервале от vmin = 999 м/с до vmax = 1001 м/с равно N1 = 1,3*10^12. Какое число таких молекул N2 находится в объёме азота V2 = 1 л?
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо воспользоваться распределением Максвелла-Больцмана, которое описывает распределение скоростей молекул газа при заданной температуре.
Распределение Максвелла-Больцмана имеет вид:
f(v) = 4π (m/2πkT)^3/2 v^2 exp(-mv^2/2kT)
где m — масса молекулы газа, k — постоянная Больцмана, T — температура газа, v — скорость молекулы.
Для нахождения числа молекул, вертикальная составляющая скорости которых лежит в интервале от vmin до vmax, необходимо проинтегрировать распределение Максвелла-Больцмана по этому интервалу:
N = NE ∫(vmin, vmax) f(v) dv
где NE — общее число молекул газа.
Подставляя значения vmin = 999 м/с, vmax = 1001 м/с, m = 28 г/моль (молярная масса азота), k = 1,38*10^-23 Дж/К (постоянная Больцмана), T = 300 К (приблизительная комнатная температура), получаем:
N1 = NE ∫(999, 1001) f(v) dv ≈ 1,3*10^12
N1/NE = ∫(999, 1001) f(v) dv / ∫(-∞, +∞) f(v) dv
Для нахождения числа молекул в объёме V2 = 1 л необходимо воспользоваться уравнением состояния идеального газа:
pV = NkT
где p — давление газа, V — объём газа, N — число молекул газа, k — постоянная Больцмана, T — температура газа.
Переводим объём V2 = 1 л в единицы м^3:
V2 = 1 л = 0,001 м^3
Подставляя значения p = 0,1 МПа = 10^5 Па, V = 0,001 м^3, k = 1,38*10^-23 Дж/К, T = 300 К, получаем:
N2 = pV/kT ≈ 2,5*10^22
Таким образом, число молекул азота, вертикальная составляющая скорости которых лежит в интервале от 999 м/с до 1001 м/с, в объёме азота V2 = 1 л составляет примерно 1,3*10^12, а общее число молекул азота в этом объёме составляет примерно 2,5*10^22.
