Вопрос школьника
В окружность радиуса 5 вписан равнобедренный треугольник, сумма основания и высоты которого равна 16. Найдите высоту треугольника
Ответ от учителя
Пусть основание равнобедренного треугольника равно $a$, а высота равна $h$. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом окружности, высотой и половиной основания, имеем:
$$
left(frac{a}{2}right)^2 + h^2 = 5^2
$$
Также из условия задачи известно, что $a + h = 16$. Решая эту систему уравнений, получаем:
$$
begin{cases}
left(frac{a}{2}right)^2 + h^2 = 25 \
a + h = 16
end{cases}
Rightarrow
begin{cases}
a^2 + 4h^2 = 100 \
a + h = 16
end{cases}
$$
Выразим $a$ из второго уравнения и подставим в первое:
$$
(16-h)^2 + 4h^2 = 100
$$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$$
h^2 — 16h + 42 = 0
$$
Решая это квадратное уравнение, получаем два корня:
$$
h_1 = 2, quad h_2 = 14
$$
Однако, так как высота треугольника не может быть больше его основания, то подходит только первый корень: $h = 2$. Ответ: высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса 5, равна 2.
