Вопрос школьника
В окружность радиуса R вписан правильный шестиугольник ABCDEF Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BDF.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится знание о том, что в правильном шестиугольнике все стороны и радиусы вписанных окружностей равны между собой.
Пусть радиус вписанной в шестиугольник окружности равен r. Тогда длина стороны шестиугольника равна 2r, а длина отрезка, соединяющего центр шестиугольника с вершиной, равна r.
Рассмотрим треугольник BDF. Он является равносторонним, так как углы при его вершинах равны 60 градусов. Значит, все стороны треугольника равны между собой, и радиус вписанной в него окружности также равен r.
Теперь рассмотрим отрезок, соединяющий центр шестиугольника с вершиной треугольника BDF. Этот отрезок является высотой треугольника BDF и делит его на два равнобедренных треугольника. Значит, отрезок, соединяющий центр вписанной в треугольник BDF окружности с вершиной треугольника, является высотой этой окружности.
Таким образом, мы получили, что высота треугольника BDF равна r, а высота вписанной в него окружности также равна r. Значит, радиус вписанной в треугольник BDF окружности также равен r.
Ответ: радиус окружности, вписанной в треугольник BDF, равен радиусу вписанной в шестиугольник окружности и равен R.
