Вопрос школьника
В окружность вписан четырёхугольник. Докажите, что хорды этой окружности, соединяющие середины противоположных дуг, взаимно перпендикулярны.
Ответ от учителя
Пусть дана окружность с центром O и четырехугольник ABCD, вписанный в эту окружность. Пусть M и N — середины дуг AB и CD соответственно, а P и Q — середины дуг BC и AD соответственно.
Так как четырехугольник ABCD вписанный, то углы ABD и ACD равны, а значит, дуги AD и BC равны. Аналогично, дуги AB и CD равны.
Таким образом, треугольники ABP и CDP равны по двум сторонам и углу между ними, а значит, они равнобедренные. Аналогично, треугольники AQB и CQA равнобедренные.
Так как треугольники ABP и CDP равнобедренные, то PM = PN и DM = DN. Аналогично, QN = QM и CN = BM.
Теперь рассмотрим треугольник PMQ. Так как PM = PN и QN = QM, то треугольник PMQ равнобедренный. А значит, угол MPQ равен углу MQP.
Рассмотрим теперь треугольник OMP. Так как OM = OP (радиус окружности), а угол MPQ равен углу MQP, то треугольник OMP равнобедренный. А значит, угол OPM равен углу OPQ.
Аналогично, рассмотрев треугольник ONQ, получаем, что угол OQN равен углу OQP.
Таким образом, угол OPM + угол OQN = угол OPQ + угол OQP = 90 градусов, так как это угол между хордами, соединяющими середины противоположных дуг.
Значит, хорды PM и QN взаимно перпендикулярны. Аналогично, можно доказать, что хорды PN и QM взаимно перпендикулярны.
Таким образом, мы доказали, что хорды этой окружности, соединяющие середины противоположных дуг, взаимно перпендикулярны.
