Вопрос школьника
В окружности по одну сторону от её центра проведены две параллельные хорды длиной 48 см и 24 см. Расстояние между хордами равно 12 см. Найдите радиус окружности.
Ответ от учителя
Пусть $O$ — центр окружности, $AB$ и $CD$ — параллельные хорды, причем $AB > CD$. Пусть $M$ — середина меньшей хорды $CD$, $OM = r$ — радиус окружности, $AE$ — высота, опущенная из центра окружности на большую хорду $AB$, $BE = x$ — расстояние от точки $B$ до меньшей хорды $CD$.
Так как $AB$ и $CD$ параллельны, то $angle AOB = angle COD$ (они опираются на одну и ту же дугу), а значит, треугольники $AOB$ и $COD$ подобны. Так как $AB > CD$, то $AO > CO$, а значит, $AE > ME$. Также заметим, что $AE = r$, так как $AE$ — это высота, опущенная из центра окружности на большую хорду.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BME$. Из него получаем, что $BE^2 + ME^2 = BM^2$. Заменяем $ME$ на $AE — AM = r — 12$, а $BM$ на $AB/2 = 24$ (половина большей хорды), получаем:
$$x^2 + (r — 12)^2 = 24^2$$
Рассмотрим теперь треугольник $AEO$. Из него получаем, что $AE^2 + OE^2 = AO^2$. Заменяем $AE$ на $r$ и $OE$ на $x + 12$ (так как $OE$ — это расстояние от точки $E$ до меньшей хорды $CD$, а оно равно $x$ плюс половина расстояния между хордами, то есть $12$), получаем:
$$r^2 + (x + 12)^2 = (AB/2)^2 = 24^2$$
Имеем систему уравнений:
$$begin{cases} x^2 + (r — 12)^2 = 24^2 \ r^2 + (x + 12)^2 = 24^2 end{cases}$$
Решая ее, получаем $r = 15$.
Ответ: радиус окружности равен 15 см.
