Вопрос школьника
В окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АB и CD. Точки F и К лежат на диаметре АВ и на равном расстоянии от прямой CD. Докажите, что отрезки CF и DK равны.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точки F и К лежат на одной окружности с точками C и D, так как все они находятся на диаметрах этой окружности. Также заметим, что отрезки CF и DK являются высотами треугольника CDE, так как они перпендикулярны к его основанию CD.
Теперь рассмотрим треугольники CDF и KDE. Они являются прямоугольными, так как углы CDF и KDE равны 90 градусов (по свойству перпендикулярных прямых), а углы CFD и KED равны 45 градусов (так как точки F и К находятся на равном расстоянии от прямой CD). Также эти треугольники подобны, так как у них соответственные углы равны (угол CDF равен углу KDE, угол CFD равен углу KED, а угол DCF равен углу EDK).
Из подобия треугольников CDF и KED следует, что отношение длин отрезков CF и DK равно отношению длин оснований CD и DE:
CF/DK = CD/DE
Но так как CD и DE являются диаметрами окружности, то они равны:
CD = DE
Поэтому:
CF/DK = 1
Отсюда следует, что отрезки CF и DK равны.
