Вопрос школьника
В окружности проведены две равные непараллельные хорды АВ и CD, не имеющие общих точек. Докажите, что четырёхугольник ABCD — равнобокая трапеция
Ответ от учителя
Для начала заметим, что хорды АВ и CD делят окружность на 4 дуги. Поскольку хорды равны, то эти дуги также равны. Обозначим эти дуги как a, b, c и d, причем дуги a и c находятся по одну сторону от хорды АВ, а дуги b и d — по другую сторону от нее.
Так как хорды не параллельны, то они пересекаются в точке О, которая является центром окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD. Рассмотрим треугольники AOC и BOD. Они равнобедренные, так как у них равны основания (хорды АВ и CD) и радиусы окружности (OA=OC и OB=OD). Значит, углы AOC и BOD равны.
Также заметим, что углы AOC и BOD являются смежными углами в четырехугольнике ABCD. Поскольку они равны, то смежные углы ABC и CDA также равны. Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является равнобокой трапецией, у которой основания АВ и CD равны, а боковые стороны BC и DA также равны.
Таким образом, мы доказали, что если в окружности проведены две равные непараллельные хорды АВ и CD, не имеющие общих точек, то четырехугольник ABCD является равнобокой трапецией.
