Вопрос школьника
В окружности проведены хорда MN длиной 11√3 и диаметр МР. В точке N проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра МР за точку Р в точке Q под углом 30°. Найдите длину отрезка PQ.
Ответ от учителя
Пусть центр окружности находится в точке O, а точка пересечения хорды MN и диаметра МР — точка А. Тогда, так как хорда MN проходит через центр окружности, она делит ее на две равные части. Значит, длина отрезка ОА равна 5√3.
Так как точка N лежит на касательной к окружности, то угол МНQ равен прямому углу. Значит, треугольник МНQ — прямоугольный, и мы можем применить теорему синусов:
sin 30° = MQ / MN
1/2 = MQ / 11√3
MQ = 11√3 / 2
Теперь мы можем найти длину отрезка PQ, используя теорему Пифагора в треугольнике МPQ:
PQ² = MP² + MQ²
PQ² = (2ОА)² + (11√3 / 2)²
PQ² = 4ОА² + 33/4
PQ = √(4ОА² + 33/4)
PQ = √(4(5√3)² + 33/4)
PQ = √(500/4 + 33/4)
PQ = √(133)
PQ = 11,53 (округляем до сотых)
Ответ: длина отрезка PQ равна 11,53.
