Вопрос школьника
В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ = 13см, СЕ = 9 см, ED = 4 см и расстояние между точками В и D равно 4корень3 см
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства хорд и центральных углов в окружности.
Сначала найдем длину хорды CD. Заметим, что треугольник CDE является прямоугольным, так как его стороны являются радиусом окружности и касательной к ней в точке Е. Поэтому, применяя теорему Пифагора, получаем:
$CD^2 = CE^2 + ED^2 = 9^2 + 4^2 = 97$
Отсюда:
$CD = sqrt{97}$
Теперь найдем расстояние между точками В и D. Обозначим это расстояние через х. Тогда, применяя теорему Пифагора к треугольнику BDE, получаем:
$(13/2)^2 = (x/2)^2 + 4^2$
$(169/4) = (x^2/4) + 16$
$x^2 = 4(169/4 — 16) = 453$
$x = sqrt{453} = 3sqrt{53}$
Теперь мы можем найти косинус угла между хордами АВ и CD, используя формулу косинуса для треугольника BDE:
$cosangle AEC = frac{BE^2 + CE^2 — AE^2}{2cdot BEcdot CE}$
Заметим, что треугольник BDE является прямоугольным, так как его стороны являются радиусом окружности и касательной к ней в точке Е. Поэтому:
$BE = DE = frac{x}{2} = frac{3sqrt{53}}{2}$
$AE = AB — BE = 13 — frac{3sqrt{53}}{2}$
Теперь можем подставить все значения в формулу косинуса:
$cosangle AEC = frac{left(frac{3sqrt{53}}{2}right)^2 + 9^2 — left(13 — frac{3sqrt{53}}{2}right)^2}{2cdot frac{3sqrt{53}}{2}cdot 9} = frac{3}{2sqrt{53}}$
Наконец, найдем сам угол между хордами, используя формулу для косинуса угла:
$cosangle ACD = -cosangle AEC = -frac{3}{2sqrt{53}}$
$angle ACD = arccosleft(-frac{3}{2sqrt{53}}right) approx 123.6^circ$
Ответ: острый угол между хордами АВ и CD равен примерно 123.6 градусов.
