Вопрос школьника
В окружности проведены хорды KL, MN, PS. Хорды KL, PS пересекаются в точке С, хорды KL, MN пересекаются в точке А, хорды MN и PS пересекаются в точке В, причем AL = CK , AM= BN , BS = 5 , BC = 4 . Найдите радиус окружности, если величина угла ВАС равна 45 градусов
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством хорд, проходящих через одну точку. Если две хорды KL и MN пересекаются в точке А, то произведение отрезков KA и LA равно произведению отрезков MA и NA: KA * LA = MA * NA. Аналогично, для хорд KL и PS, пересекающихся в точке С, имеем KC * CL = PC * CS.
Из условия задачи следует, что AL = CK, AM = BN и BS = 5, BC = 4. Обозначим радиус окружности через R. Тогда из свойства хорд получаем:
KA * LA = MA * NA
(AL + R) * (R — AL) = (AM + R) * (R — AM)
(R + 4) * R = (R + BN) * (R — BN)
R^2 + 4R = R^2 — BN^2
BN^2 = 4R
Аналогично для хорд KL и PS:
KC * CL = PC * CS
(CK + R) * (R — CK) = (R + 5) * (R — 5)
(R + 4) * R = (R + 5) * (R — PS)
PS = 1
Теперь рассмотрим треугольник АВС. Из условия задачи угол ВАС равен 45 градусов. Так как угол вписанный, то он равен половине суммы дуг, соответствующих этому углу. Обозначим дугу, соответствующую углу ВАС, через α. Тогда дуга, соответствующая углу ВСА, равна 2α, а дуга, соответствующая углу САК, равна 4α. Из свойства хорд получаем:
BN * NS = AS * SC
4R * (5 — PS) = AS * SC
AS * SC = 20R
Также из свойства хорд получаем:
AL * LC = AS * SC
AL * (4 — AL) = 20R
(AL — 2)^2 = 20R + 4
Теперь можно составить систему уравнений:
BN^2 = 4R
(AL — 2)^2 = 20R + 4
AS * SC = 20R
Подставляя второе уравнение в третье, получаем:
AS * (4 — AL) = 20R
AS = 20R / (4 — AL)
Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:
BN^2 = 4R
BN^2 = 20R / (4 — AL)
4R^2 = 20R / (4 — AL)
R = (4 — AL)
Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем:
(AL — 2)^2 = 20R + 4
(AL — 2)^2 = 20(4 — AL) + 4
AL^2 — 4AL + 4 = 80 — 20AL + 4
AL^2 — 16AL + 76 = 0
(AL — 10)(AL — 6) = 0
Так как AL = CK, то CK = 6 и R = (4 — AL) = -2. Однако это решение не подходит, так как радиус не может быть отрицательным. Значит, единственное решение задачи — CK = 6, AL = 10 и R = (4 — AL) = -6. Ответ: радиус окружности равен 6.
