Вопрос школьника
В окружности, радиус которой равен 5, проведена хорда АВ = 8 . Точка С лежит на хорде АВ так, что АС : ВС = 1 : 2. Найдите радиус окружности, касающийся данной окружности и касающейся хорды АВ в точке С.
Ответ от учителя
Пусть точка О — центр данной окружности, а точка D — точка касания искомой окружности с хордой АВ. Также обозначим точку пересечения ОС с окружностью как Е.
Так как АС : ВС = 1 : 2, то мы можем найти длины отрезков АС и ВС. Пусть АС = x, тогда ВС = 2x.
Также заметим, что треугольник АОС и треугольник ВОС являются прямоугольными, так как ОА и ОВ являются радиусами окружности, а угол АОС и угол ВОС являются прямыми. Тогда мы можем найти длины отрезков ОС, ОА и ОВ, используя теорему Пифагора:
ОС² = ОА² — АС² = ОВ² — ВС²
ОА = ОВ = 5 (так как это радиус окружности)
Тогда:
ОС² = 5² — x² = 5² — (2x)²
Решая это уравнение, мы получаем:
x = 3
Теперь мы можем найти длину отрезка СD, используя теорему Пифагора в треугольнике СОD:
CD² = CO² — OD²
CO = 5 + r (где r — радиус искомой окружности)
OD = r
Тогда:
CD² = (5 + r)² — r²
CD² = 25 + 10r
Также мы знаем, что АС = 3, а ВС = 6. Тогда длина хорды АВ равна 8, и мы можем найти длину отрезка AD, используя теорему Пифагора в треугольнике АОD:
AD² = AO² — OD²
AO = 5
OD = r
Тогда:
AD² = 25 — r²
Так как точка С лежит на хорде АВ, то отрезки AD и DC должны в сумме равняться 8:
AD + CD = 8
Тогда:
(25 — r²) + √(25 + 10r) = 8
Решая это уравнение, мы получаем:
r = 2
Таким образом, радиус искомой окружности равен 2.
