Вопрос школьника
В окружности вписан четырехугольник, одна диагональ которого — диаметр окружности. Докажите, что ортогональные проекции противолежащих сторон четырёхугольника на другую диагональ равны между собой.
Ответ от учителя
Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность с центром O и диаметром AC. Проведем диагонали BD и AC, пересекающиеся в точке E.
Так как AC — диаметр окружности, то угол AOC равен 90 градусов. Также угол AEC равен 90 градусов, так как точка E лежит на диаметре AC. Значит, точки A, O и E лежат на одной прямой.
Рассмотрим проекции сторон AB и CD на диагональ BD. Обозначим их через P и Q соответственно.
Так как угол AOC равен 90 градусов, то треугольник AOB прямоугольный. Значит, проекция стороны AB на BD равна BP.
Аналогично, проекция стороны CD на BD равна CQ.
Так как точки A, O и E лежат на одной прямой, то проекция точки O на BD лежит на отрезке PE. Обозначим эту проекцию через X.
Также заметим, что треугольник OEC прямоугольный, так как угол OEC равен 90 градусов (так как точка E лежит на диаметре AC) и угол OCE равен 90 градусов (так как OC — радиус окружности). Значит, проекция точки O на BD равна EX.
Таким образом, мы получили, что BP = EX и CQ = EX. Значит, BP = CQ, что и требовалось доказать.
