Вопрос школьника
В опуклий шестикутник з рівними сторонами і кутами
вписано коло і точки дотику через одну послідовно сполучено
відрізками. Доведіть, що утворений трикутник —
рівносторонній
Ответ от учителя
Для доведення того, что треугольник, образованный точками касания окружности, вписанной в правильный шестиугольник, является равносторонним, можно использовать следующий алгоритм:
1. Обозначим вершины правильного шестиугольника как A, B, C, D, E и F, причем они расположены в порядке обхода по часовой стрелке.
2. Обозначим точки касания окружности с отрезками AB, BC, CD, DE, EF и FA как P, Q, R, S, T и U соответственно.
3. Заметим, что каждый из отрезков AP, BQ, CR, DS, ET и FU является радиусом окружности, вписанной в правильный шестиугольник. Поскольку все стороны шестиугольника равны, то и все радиусы окружности равны между собой.
4. Рассмотрим треугольник APS. Он является равнобедренным, поскольку AP и PS являются радиусами окружности, а значит, равны между собой. Также угол APS равен 120 градусам, поскольку он является углом правильного шестиугольника. Значит, угол ASP также равен 120 градусам.
5. Аналогично можно доказать, что углы BQT, CRU, DSV, ETW и FUА также равны 120 градусам.
6. Таким образом, получаем, что треугольники APS, BQT, CRU, DSV, ETW и FUА являются равнобедренными и равноугольными, поскольку углы при основании равны 120 градусам.
7. Значит, все стороны этих треугольников равны между собой, а значит, треугольник, образованный точками касания окружности, является равносторонним.
Таким образом, мы доказали, что треугольник, образованный точками касания окружности, вписанной в правильный шестиугольник, является равносторонним.
