Вопрос школьника
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, который лежит в основании пирамиды:
$a^2 + b^2 = c^2$
где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.
Из условия задачи известен один катет $a = 8$ см и радиус описанной около треугольника окружности $R = 5$ см. Так как радиус описанной около треугольника окружности является гипотенузой прямоугольного треугольника, то:
$c = 2R = 10$ см
Теперь найдем второй катет:
$b = sqrt{c^2 — a^2} = sqrt{10^2 — 8^2} = sqrt{36} = 6$ см
Так как основанием высоты является середина гипотенузы, то высота пирамиды равна половине гипотенузы:
$h = frac{c}{2} = frac{10}{2} = 5$ см
Теперь можем найти боковые ребра пирамиды, используя теорему Пифагора для боковых треугольников:
$b^2 + h^2 = r^2$
где $r$ — радиус вписанной в боковую грань пирамиды окружности.
Так как боковые грани пирамиды равнобедренные, то радиус вписанной в них окружности равен половине бокового ребра $a’$:
$r = frac{a’}{2}$
Следовательно,
$a’ = 2r = 2sqrt{b^2 + h^2} = 2sqrt{6^2 + 5^2} = 2sqrt{61}$ см
Ответ: боковые ребра пирамиды равны $2sqrt{61}$ см.
