Вопрос школьника
В основании пирамиды PABCD — прямоугольник, периметр которого равен 12, (РВ) ⊥ (АВС), угол между гранями PAD и ABCD равен 45°. При какой высоте её объём наибольший?
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти высоту пирамиды, при которой её объём будет наибольшим. Объём пирамиды можно вычислить по формуле:
V = (1/3) * S * h,
где S — площадь основания пирамиды, h — высота пирамиды.
Для начала найдём площадь основания пирамиды. Так как в основании пирамиды лежит прямоугольник, то его площадь равна:
S = AB * BC = AD * DC,
где AB, BC, AD, DC — стороны прямоугольника.
Так как периметр прямоугольника равен 12, то:
2AB + 2BC = 12,
AB + BC = 6.
Также из условия задачи известно, что угол между гранями PAD и ABCD равен 45°. Это означает, что треугольник PAD является прямоугольным, и мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды:
h^2 = PA^2 — AD^2,
где PA — высота треугольника PAD, которая является высотой пирамиды.
Так как треугольник PAD прямоугольный, то:
PA = AD + PD,
где PD — высота треугольника PCD.
Также из условия задачи известно, что (РВ) ⊥ (АВС), то есть PD = VB.
Таким образом, мы получаем:
PA = AD + VB.
Теперь мы можем выразить высоту пирамиды через стороны прямоугольника:
h^2 = (AD + VB)^2 — AD^2 = 2AD * VB + VB^2.
Так как VB = PD = DC — AD, то:
h^2 = 2AD * (DC — AD) + (DC — AD)^2 = 3AD^2 — 6AD * DC + 2DC^2.
Теперь мы можем выразить объём пирамиды через высоту:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * AD * DC * sqrt(3AD^2 — 6AD * DC + 2DC^2).
Чтобы найти максимальное значение объёма, нужно найти максимальное значение выражения под корнем. Для этого можно воспользоваться производной:
d/dAD (3AD^2 — 6AD * DC + 2DC^2) = 6AD — 6DC.
Уравнение dV/dAD = 0 даёт нам значение AD, при котором объём пирамиды будет наибольшим:
6AD — 6DC = 0,
AD = DC.
Таким образом, чтобы объём пирамиды был наибольшим, высота пирамиды должна быть равна стороне прямоугольника, то есть:
h = PA = AD + VB = AD + DC — AD = DC.
Ответ: высота пирамиды должна быть равна стороне прямоугольника, то есть DC.
