Вопрос школьника
В остроугольном треугольнике ABC отрезки ВТ и AF — высоты, проведенные соответственно к сторонам АС и ВС, пересекаются в точке О (рис. 105, а). а) Докажите, что треугольники АТО и BFO подобны. б) Верно ли, что треугольник BFO подобен треугольнику ВТС?
Ответ от учителя
а) Для доказательства подобия треугольников АТО и BFO необходимо показать, что они имеют два угла, равные между собой, и соответствующие стороны пропорциональны.
Угол АТО является прямым, так как отрезок ВТ является высотой треугольника АСВ. Угол BFO также является прямым, так как отрезок AF является высотой треугольника АВС. Таким образом, углы АТО и BFO равны между собой.
Далее, необходимо показать, что соответствующие стороны пропорциональны. Сторона АТ соответствует стороне BF, так как они обе являются высотами треугольников. Сторона ОТ соответствует стороне ОF, так как они обе являются радиусами вписанной окружности треугольника АВС. Сторона АО соответствует стороне ВО, так как они обе являются радиусами описанной окружности треугольника АВС. Таким образом, соответствующие стороны треугольников АТО и BFO пропорциональны.
Итак, мы доказали, что треугольники АТО и BFO подобны.
б) Треугольник BFO не подобен треугольнику ВТС. Это можно показать, например, с помощью противоречия. Предположим, что треугольники BFO и ВТС подобны. Тогда соответствующие стороны должны быть пропорциональны.
Сторона BF соответствует стороне ВС, так как они обе являются высотами треугольников. Сторона ОF соответствует стороне ТС, так как они обе являются радиусами вписанной окружности треугольника АВС. Сторона BO соответствует стороне ВТ, так как они обе являются радиусами описанной окружности треугольника АВС.
Но тогда получается, что сторона ВС должна быть пропорциональна стороне ВТ, что неверно для остроугольного треугольника. Таким образом, наше предположение оказывается ложным, и треугольник BFO не подобен треугольнику ВТС.
