Вопрос школьника
В остроугольном треугольнике ABC высоты AK и CM пересекаются в точке H. Докажите, что: а) ∠ BAK = ∠ BCM; б) ∠ B = ∠ CHK; в) ∠ AHС + ∠ B = 180°.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольники AKH и CMH. Они имеют общую высоту HM и основания AK и CM соответственно. Значит, они равнобедренные и ∠AKH = ∠CMH. Также, так как треугольник ABC остроугольный, то ∠AKB и ∠CMB являются острыми углами. Значит, ∠BAK и ∠CBM являются дополнительными к ним углами. Таким образом, ∠BAK = 90° — ∠AKB = 90° — ∠CMB = ∠CBM.
б) Рассмотрим треугольники CHM и CBH. Они имеют общую высоту HC и основания CM и CB соответственно. Значит, они равнобедренные и ∠CHM = ∠CBH. Также, так как треугольник ABC остроугольный, то ∠BCH и ∠CBM являются острыми углами. Значит, ∠BCH и ∠CBH являются дополнительными к ним углами. Таким образом, ∠BCH = 90° — ∠CBM = 90° — ∠AKB = ∠CHK.
в) Рассмотрим треугольник AHC. Он имеет углы ∠AHC, ∠ACH и ∠HAC. Также, так как треугольник ABC остроугольный, то ∠BAC является острым углом. Значит, ∠ACH и ∠HAC являются дополнительными к нему углами. Таким образом, ∠ACH + ∠BAC = 180°.
