Вопрос школьника
В остроугольном треугольнике АВС длины сторон АВ и ВС равны соответственно 10 см и 18 см. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если высота, проведенная из вершины В, равна 6 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся формулой для радиуса описанной окружности в остроугольном треугольнике:
$r = frac{abc}{4S}$,
где $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника, $S$ — его площадь.
Для начала найдем площадь треугольника АВС. Она равна половине произведения длин двух его сторон на синус угла между ними:
$S = frac{1}{2} cdot AB cdot BC cdot sin(angle ABC)$.
Угол $angle ABC$ является острым, так как треугольник остроугольный, поэтому его синус можно найти по формуле:
$sin(angle ABC) = frac{h}{BC}$,
где $h$ — высота, проведенная к стороне $BC$.
Подставляя известные значения, получаем:
$sin(angle ABC) = frac{6}{18} = frac{1}{3}$,
$S = frac{1}{2} cdot 10 cdot 18 cdot frac{1}{3} = 30$.
Теперь можем найти радиус описанной окружности:
$r = frac{10 cdot 18 cdot BC}{4 cdot 30} = frac{15}{2} cdot BC$.
Осталось найти длину стороны $BC$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, примененной к прямоугольному треугольнику $BCH$, где $H$ — основание высоты, проведенной к стороне $BC$:
$BH^2 + CH^2 = BC^2$.
Из подобия треугольников $ABH$ и $BCH$ следует, что:
$frac{BH}{AB} = frac{BC}{BH}$,
$BH^2 = AB cdot BC$,
$BH^2 = 10 cdot BC$.
Подставляя это выражение в формулу для теоремы Пифагора, получаем:
$10^2 + (18-6)^2 = BC^2$,
$BC^2 = 400$,
$BC = 20$.
Теперь можем найти радиус описанной окружности:
$r = frac{15}{2} cdot BC = frac{15}{2} cdot 20 = 150/2 = 75$.
Ответ: радиус описанной окружности равен 75 см.
