Вопрос школьника
В остроугольном треугольнике АВС из вершин А и С опущены высоты АР и СQ на стороны ВС и АВ. Известно, что площадь треугольника АВС равна 18, площадь треугольника ВРQ равна 2, а длина отрезка РQ равна 2√2. Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
Ответ от учителя
Рассмотрим остроугольный треугольник $ABC$ и его высоты $AP$ и $CQ$:
[asy]
pair A,B,C,P,Q;
A=(0,0);
B=(3,0);
C=(0,4);
P=(0,2);
Q=(1.5,0);
draw(A—B—C—cycle);
draw(A—P);
draw(C—Q);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,SE);
label(«$C$»,C,N);
label(«$P$»,P,W);
label(«$Q$»,Q,S);
[/asy]
Пусть $h_a$ и $h_c$ — длины высот $AP$ и $CQ$ соответственно. Тогда площадь треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами:
$$S_{ABC}=frac{1}{2}ABcdot h_c=frac{1}{2}BCcdot h_a$$
Отсюда получаем:
$$ABcdot h_c=BCcdot h_a$$
Так как $AB=BC$, то $h_a=h_c$. Обозначим эту высоту через $h$.
Теперь рассмотрим треугольник $RPQ$ и его высоту $PS$:
[asy]
pair A,B,C,P,Q,S,R;
A=(0,0);
B=(3,0);
C=(0,4);
P=(0,2);
Q=(1.5,0);
S=(1.5,2);
R=(1.5,4);
draw(A—B—C—cycle);
draw(P—Q—R—cycle);
draw(S—P);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,SE);
label(«$C$»,C,N);
label(«$P$»,P,W);
label(«$Q$»,Q,S);
label(«$S$»,S,E);
label(«$R$»,R,N);
[/asy]
Пусть $h’$ — длина высоты $PS$. Тогда площадь треугольника $RPQ$ можно выразить двумя способами:
$$S_{RPQ}=frac{1}{2}PQcdot h’=frac{1}{2}RPcdot h’$$
Отсюда получаем:
$$PQ=RP$$
Так как $PQ=2sqrt{2}$, то $RP=2sqrt{2}$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABC$ и его описанную окружность:
[asy]
pair A,B,C,P,Q,S,R,O;
A=(0,0);
B=(3,0);
C=(0,4);
P=(0,2);
Q=(1.5,0);
S=(1.5,2);
R=(1.5,4);
O=(1.5,1.333);
draw(A—B—C—cycle);
draw(circle(O,length(O-A)));
draw(P—Q—R—cycle);
draw(S—P);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,SE);
label(«$C$»,C,N);
label(«$P$»,P,W);
label(«$Q$»,Q,S);
label(«$S$»,S,E);
label(«$R$»,R,N);
label(«$O$»,O,NE);
[/asy]
Пусть $O$ — центр описанной окружности. Тогда $OA=OB=OC=R$, где $R$ — радиус описанной окружности. Так как $AP=AS$ и $CQ=CS$, то $AO=CO=R-h$. Таким образом, $AC=2(R-h)$.
Теперь рассмотрим треугольник $RPQ$ и его описанную окружность:
[asy]
pair A,B,C,P,Q,S,R,O;
A=(0,0);
B=(3,0);
C=(0,4);
P=(0,2);
Q=(1.5,0);
S=(1.5,2);
R=(1.5,4);
O=(1.5,1.333);
draw(A—B—C—cycle);
draw(circle(O,length(O-A)));
draw(P—Q—R—cycle);
draw(S—P);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,SE);
label(«$C$»,C,N);
label(«$P$»,P,W);
label(«$Q$»,Q,S);
label(«$S$»,S,E);
label(«$R$»,R,N);
label(«$O$»,O,NE);
[/asy]
Пусть $O’$ — центр описанной окружности. Тогда $O’P=O’Q=O’R=R’$, где $R’$ — радиус описанной окружности. Так как $RP=2sqrt{2}$, то $R’=RP/sqrt{2}=2$. Также заметим, что $O’P=O’S$ и $O’Q=O’S$, поэтому $O’P=O’Q=O’S=R’-h’$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABC$ и треугольник $RPQ$:
[asy]
pair A,B,C,P,Q,S,R,O;
A=(0,0);
B=(3,0);
C=(0,4);
P=(0,2);
Q=(1.5,0);
S=(1.5,2);
R=(1.5,4);
O=(1.5,1.333);
draw(A—B—C—cycle);
draw(circle(O,length(O-A)));
draw(P—Q—R—cycle);
draw(S—P);
draw(O—O’,dashed);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,SE);
label(«$C$»,C,N);
label(«$P$»,P,W);
label(«$Q$»,Q,S);
label(«$S$»,S,E);
label(«$R$»,R,N);
label(«$O$»,O,NE);
label(«$O’$»,O’,NW);
[/asy]
Так как $AC=2(R-h)$ и $RP=2sqrt{2}$, то $AO’=CO’+O’O=2(R-h)+2=R’+h’$. Также заметим, что $AO’=R$, поэтому $R=R’+h’-2(R-h)=h’+2h-2R$.
Таким образом, чтобы найти радиус описанной окружности, нам нужно найти длины высоты $h$ и радиуса $R$ остроугольного треугольника $ABC$. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника:
$$S_{ABC}=frac{1}{2}ABcdot h=frac{1}{2}BCcdot h=frac{1}{2}ACcdot h$$
Подставляя известные значения, получаем:
$$18=frac{1}{2}(2(R-h))^2cdot h=2(R-h)^2cdot h$$
$$9=(R-h)^2cdot h$$
Также заметим, что $R=h+frac{AC}{2}=h+2(R-h)$, откуда $R=3h$.
Из уравнения $9=(R-h)^2cdot h$ находим:
$$h=frac{3}{sqrt[3]{2}}$$
Тогда радиус описанной окружности равен:
$$R=3h=3cdotfrac{3}{sqrt[3]{2}}=frac{9sqrt[3]{4}}{2}$$
Ответ: $frac{9sqrt[3]{4}}{2}$.
