Вопрос школьника
В остроугольных треугольнике ABC проведены биссектрисы ВМ. С точки М на сторону ВС опущен перпендикуляр МК. Оказалось, что ∟ABM = ∟KMC. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный
Ответ от учителя
Для начала заметим, что условие ∟ABM = ∟KMC означает, что треугольники ABM и KMC подобны. Действительно, у них есть общий угол ∟M, а два других угла ∟ABM и ∟KMC равны по условию. Значит, соответствующие стороны пропорциональны.
Обозначим длины сторон треугольника ABC как a, b и c. Тогда, по свойствам биссектрис треугольника, мы знаем, что BM = (ac)/(a+c) и CM = (ab)/(a+b).
Так как треугольники ABM и KMC подобны, то мы можем записать:
BM/KC = AB/KC = AM/KM
Заменим BM и KC на выражения, полученные из свойств биссектрис:
(ac)/(a+c)/(ab)/(a+b) = AB/KC = AM/KM
Упростим:
(a+b)/(a+c) = AM/KM
Теперь заметим, что AM + MC = AC, то есть AM = AC — MC. Подставим это в предыдущее равенство:
(a+b)/(a+c) = (AC — MC)/KM
(a+b)KM = (a+c)(AC — MC)
(a+b)KM = aAC + cKM — aMC — cMC
(a+b)KM + aMC + cMC = aAC + cKM
(a+b)KM + c(a+c) = a(a+c)
(a+b)KM + c^2 + ac = a^2 + ac
(a+b)KM = a^2 — c^2
KM = (a^2 — c^2)/(a+b)
Теперь заметим, что ∟BMC = 180° — ∟A, так как BM и CM являются биссектрисами угла BAC. Также, ∟KMC = ∟ABM, так как треугольники ABM и KMC подобны. Значит, ∟BMA = ∟CMB = ∟A/2.
Теперь мы можем применить теорему синусов к треугольнику ABM:
b/sin(∟BMA) = BM/sin(∟ABM)
b/sin(A/2) = (ac)/(a+c)/sin(∟ABM)
b = 2ac*sin(A/2)/(a+c)*sin(∟ABM)
Аналогично, для треугольника CMB:
b = 2ab*sin(A/2)/(a+b)*sin(∟CMB)
Сравнивая эти два выражения, получаем:
2ac*sin(A/2)/(a+c)*sin(∟ABM) = 2ab*sin(A/2)/(a+b)*sin(∟CMB)
ac/(a+c)*sin(∟ABM) = ab/(a+b)*sin(∟CMB)
ac/(a+c)*sin(A/2) = ab/(a+b)*sin(A/2)
ac(a+b) = ab(a+c)
b = c
Таким образом, мы доказали, что сторона b равна стороне c, то есть треугольник ABC равнобедренный.
