Вопрос школьника
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 грани ABCD и АВВ1А1 — квадраты, ∠AA1D1 = 120°.
Вычислите углы между:
а) (АВ) и (AA1D1);
б) (АА1) и (АВС);
в) (AD) и (CDD1);
г) соседними гранями.
Какая из диагоналей составляет с основанием больший угол?
Ответ от учителя
а) Угол между прямыми (АВ) и (AA1D1) можно найти, используя формулу для косинуса угла между двумя прямыми:
cos(угол) = (AB * AD1 + AA1 * AV) / (AB * AA1D1)
Здесь AB, AD1, AA1 и AV — длины соответствующих отрезков. Из условия задачи известно, что AB = AD1 и ∠AA1D1 = 120°, поэтому:
cos(угол) = 2 * AB / AA1D1
Таким образом, угол между прямыми (АВ) и (AA1D1) равен:
угол = arccos(2 * AB / AA1D1)
б) Угол между прямыми (АА1) и (АВС) можно найти, используя формулу для синуса угла между двумя прямыми:
sin(угол) = (AA1 * AVS) / (AA1 * AV)
Здесь AVS — высота параллелограмма АВС, опущенная на сторону АВ. Из условия задачи известно, что АВ и АВС — стороны квадрата, поэтому AV = AVS и sin(угол) = 1, что означает, что угол между прямыми (АА1) и (АВС) равен 90°.
в) Угол между прямыми (AD) и (CDD1) можно найти, используя формулу для косинуса угла между двумя прямыми:
cos(угол) = (AD * CD1D) / (AD * CD)
Здесь CD1D — высота параллелограмма CD1D, опущенная на сторону CD. Из условия задачи известно, что AD = CD и CD1D = AD1, поэтому:
cos(угол) = AD1 / CD
Таким образом, угол между прямыми (AD) и (CDD1) равен:
угол = arccos(AD1 / CD)
г) Соседние грани параллелепипеда пересекаются по прямой, которая является общей стороной этих граней. Угол между соседними гранями равен углу между этой общей стороной и любой из плоскостей, содержащих соседние грани. Таким образом, угол между соседними гранями равен 90°.
Какая из диагоналей составляет с основанием больший угол?
Диагонали параллелепипеда соединяют противоположные вершины. Рассмотрим диагонали А1С и BD. Они лежат в плоскостях, перпендикулярных друг другу, и пересекаются в точке O, являющейся центром параллелепипеда. Угол между диагоналями можно найти, используя формулу для косинуса угла между двумя векторами:
cos(угол) = (A1C * BD) / (A1O * BO)
Здесь A1O и BO — радиусы сферы, описанной вокруг параллелепипеда. Из условия задачи известно, что АВСА1 — квадрат, поэтому A1C = AC * sqrt(2). Аналогично, BD = AD * sqrt(2). Радиусы сферы можно найти, используя формулу:
R = sqrt((AB/2)^2 + (AD/2)^2 + (AA1/2)^2)
Таким образом, угол между диагоналями А1С и BD равен:
угол = arccos((AC * AD) / (2 * R^2))
Чтобы определить, какая из диагоналей составляет с основанием больший угол, нужно сравнить значения cos(угол) для диагоналей А1С и BD. Если cos(угол) для диагонали А1С больше, то эта диагональ составляет с основанием больший угол, и наоборот.
