Вопрос школьника
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведены сечения A1BD и CB1D1.
а) Докажите, что диагональ AС1 делится ими на три равные части,
б) Докажите, что она пересекает эти сечения в точках пересечения медиан.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольник A1BD. Он является прямоугольным, так как A1B и BD являются сторонами прямоугольника ABCDA1B1D1. Также, AC1 является диагональю этого прямоугольника. Значит, AC1 является высотой треугольника A1BD, опущенной на гипотенузу A1D. Аналогично, рассмотрим треугольник CB1D1. Он также является прямоугольным, и AC1 является его высотой, опущенной на гипотенузу CB1. Таким образом, мы получили, что AC1 является высотой двух прямоугольных треугольников, опущенной на гипотенузы. Значит, она делит каждый из этих треугольников на две равные части. Так как треугольники A1BD и CB1D1 равны по гипотенузе и катетам, то их высоты, опущенные на гипотенузы, также равны. Значит, AC1 делит высоту каждого из этих треугольников на три равные части.
б) Рассмотрим треугольник A1BD. Пусть точка пересечения медиан этого треугольника находится на AC1 в точке M. Тогда AM является медианой треугольника A1BD, а MD является медианой треугольника A1D. Значит, точка пересечения медиан находится на отрезке AD, и делит его на две равные части. Аналогично, рассмотрим треугольник CB1D1. Пусть точка пересечения медиан этого треугольника находится на AC1 в точке N. Тогда AN является медианой треугольника CB1D1, а NC1 является медианой треугольника CB1C1. Значит, точка пересечения медиан находится на отрезке CC1, и делит его на две равные части. Таким образом, мы получили, что точка пересечения медиан находится на AC1 и делит его на три равные части, а также находится на пересечении сечений A1BD и CB1D1.
