Вопрос школьника
В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 6
Ответ от учителя
Пусть сторона параллелограмма, равная 6, является диаметром вписанной окружности. Тогда радиус окружности будет равен половине этой стороны, то есть 3.
Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то вторая сторона параллелограмма также равна 6.
Теперь рассмотрим диагонали параллелограмма. Они делят параллелограмм на 4 треугольника, каждый из которых является прямоугольным. Радиус окружности является гипотенузой одного из этих треугольников, а стороны параллелограмма являются катетами. Из теоремы Пифагора получаем:
$3^2 + 6^2 = r^2$
$r^2 = 45$
$r = sqrt{45} = 3sqrt{5}$
Теперь можем найти периметр параллелограмма. Он равен удвоенной сумме длин сторон:
$P = 2(6 + 6 + 2r) = 12 + 12sqrt{5}$
Ответ: периметр параллелограмма равен $12 + 12sqrt{5}$.