Вопрос школьника
В параллелограмме ABCD (AD ≠ AB) провели биссектрисы его углов. Какую фигуру ограничивают четыре построенные биссектрисы? Докажите вашу гипотезу
Ответ от учителя
Четыре построенные биссектрисы углов параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, которая является центром вписанной окружности этого параллелограмма.
Так как AD ≠ AB, то параллелограмм ABCD не является ромбом, а значит, его диагонали не равны. Пусть AC и BD – диагонали параллелограмма ABCD.
Так как O – центр вписанной окружности, то он лежит на биссектрисе угла ABD и на биссектрисе угла BAC. Значит, угол AOC равен углу BOD, так как они соответственно являются внутренними и внешними углами, образованными пересекающимися хордами.
Также из теоремы о биссектрисе угла следует, что угол AOB равен углу COD.
Из этих равенств следует, что четыре треугольника AOB, BOC, COD и DOA равны между собой по двум сторонам и углу между ними. Значит, эти треугольники равны между собой и образуют ромб.
Таким образом, четыре построенные биссектрисы углов параллелограмма ABCD ограничивают ромб.
