Вопрос школьника
В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=104°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах
Ответ от учителя
Поскольку диагональ AC в 2 раза больше стороны AB, то можно записать: AC = 2AB. Также известно, что ∠ACD=104°.
Рассмотрим треугольник ACD. В нем известны два угла: ∠ACD=104° и ∠ADC=180°-∠ACD=76° (сумма углов треугольника равна 180°). Также известно, что AC = 2AB.
Можно применить теорему косинусов для нахождения стороны CD:
CD² = AC² + AD² — 2AC·AD·cos(∠ACD)
Подставляем известные значения:
CD² = (2AB)² + AB² — 2·2AB·AB·cos(104°)
CD² = 5AB² + 4AB·cos(104°)
Теперь рассмотрим треугольник BCD. В нем известны две стороны: BC = AB и CD, которую мы только что нашли. Можно применить теорему косинусов для нахождения угла между сторонами BC и CD:
cos(∠BCD) = (BC² + CD² — BD²) / (2BC·CD)
Подставляем известные значения:
cos(∠BCD) = (AB² + 5AB² + 4AB·cos(104°) — (2AB)²) / (2AB·CD)
cos(∠BCD) = (6AB² — 4AB²·cos(104°)) / (2AB·CD)
cos(∠BCD) = 3 — 2cos(104°)
Теперь можно найти сам угол ∠BCD:
∠BCD = arccos(3 — 2cos(104°)) ≈ 38.6°
Ответ: угол между диагоналями параллелограмма примерно равен 38.6°.
