Вопрос школьника
В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD=169°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах
Ответ от учителя
Из условия задачи известно, что диагональ AC в 2 раза больше стороны AB. Обозначим сторону AB через x, тогда диагональ AC равна 2x. Также известно, что ∠ACD=169°.
Рассмотрим треугольник ACD. Из него можно найти угол ADC, так как сумма углов треугольника равна 180°:
∠ADC = 180° — ∠ACD = 180° — 169° = 11°
Так как AD и BC являются диагоналями параллелограмма, то они делятся пополам точкой пересечения, обозначим ее как M. Тогда AM = MC и BM = MD.
Рассмотрим треугольник ABM. В нем можно найти угол AMB, так как сумма углов треугольника равна 180°:
∠AMB = 180° — ∠ABM — ∠BAM
Так как AB и BM равны, то ∠ABM = ∠BAM. Обозначим этот угол через α:
∠AMB = 180° — 2α
Рассмотрим треугольник CDM. В нем можно найти угол CMD, так как сумма углов треугольника равна 180°:
∠CMD = 180° — ∠CDM — ∠DCM
Так как CD и DM равны, то ∠CDM = ∠DCM. Обозначим этот угол через β:
∠CMD = 180° — 2β
Так как AM = MC и BM = MD, то треугольники ABM и CDM равнобедренные. Значит, углы ∠AMB и ∠CMD равны между собой:
∠AMB = ∠CMD
180° — 2α = 180° — 2β
2β — 2α = 0
β — α = 0
β = α
Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма равен углу AMB или CMD, который мы обозначили через α. Найдем его:
∠ABM = ∠BAM = α
В треугольнике ABM сумма углов равна 180°:
∠ABM + ∠BAM + ∠AMB = 180°
α + α + 180° — 2α = 180°
2α = 180° — α
3α = 180°
α = 60°
Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма равен 60°.
