Вопрос школьника
В параллелограмме ABCD диагональ АС, равная 24 см, образует со стороной AD угол в 30°, О — точка пересечения диагоналей АС и BD, ОЕ _I_ AD. Найдите длину отрезка ОЕ.
Ответ от учителя
Поскольку угол между диагональю АС и стороной AD равен 30°, то угол между диагональю BD и стороной AD также равен 30° (так как AD и BC параллельны). Таким образом, треугольник ADO является равносторонним, и его сторона AD равна 24 см.
Также заметим, что треугольник AOE подобен треугольнику ACD, так как углы AOE и ACD соответственно равны углам AOC и ADC (как вертикальные углы), а угол AOC равен углу ADC (как дополнительные к углу BCD). Таким образом, отношение сторон в треугольниках AOE и ACD равно отношению соответствующих высот, то есть:
OE/AC = AE/AD
Заменяем известные значения:
OE/24 = AE/24√3
OE = AE/√3
Осталось найти длину отрезка AE. Заметим, что треугольник ABE также является равносторонним, так как AB и AE равны сторонам параллелограмма ABCD. Таким образом, AE равно половине диагонали параллелограмма, то есть 12 см.
Итак, мы нашли, что OE = AE/√3 = 12/√3 см. Это можно упростить, умножив числитель и знаменатель на √3:
OE = 12√3/3 = 4√3 см.
Ответ: длина отрезка ОЕ равна 4√3 см.
