Вопрос школьника
В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна его стороне АВ, отрезок DF — высота, проведенная из вершины D к стороне ВС. Вычислите площадь параллелограмма, если DF = 8 см, FC = 4 см.
Ответ от учителя
Поскольку диагональ BD перпендикулярна стороне АВ, то у параллелограмма ABCD стороны AB и CD равны между собой, а стороны AD и BC тоже равны между собой. Обозначим длину стороны AB (и CD) через a, а длину стороны AD (и BC) через b.
Так как DF — высота, проведенная из вершины D к стороне ВС, то треугольник DFC прямоугольный, и мы можем применить теорему Пифагора:
$DF^2 + FC^2 = DC^2$
$8^2 + 4^2 = DC^2$
$80 = DC^2$
$DC = sqrt{80} = 4sqrt{5}$
Так как диагональ BD является высотой параллелограмма, то ее длина равна высоте, опущенной на сторону AB. Обозначим эту высоту через h.
Так как треугольник DFC прямоугольный, то мы можем выразить h через DF и FC:
$h^2 = DF^2 — FC^2$
$h^2 = 8^2 — 4^2$
$h^2 = 64 — 16$
$h^2 = 48$
$h = sqrt{48} = 4sqrt{3}$
Теперь мы можем выразить площадь параллелограмма через длины его сторон и высоту:
$S = bh = absin{angle ABD} = frac{1}{2}BDcdot h = frac{1}{2}cdot 2acdot 4sqrt{3} = 4asqrt{3}$
Но мы знаем, что диагональ BD равна $2sqrt{a^2 + h^2}$, поэтому
$2sqrt{a^2 + h^2} = 2sqrt{a^2 + 48} = 4sqrt{5}$
$a^2 + 48 = 20$
$a^2 = 20 — 48 = -28$
Это невозможно, поэтому параллелограмм ABCD не существует.
