Вопрос школьника
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, а М — такая точка на стороне AD, что AM = MD. Выразите через векторы х = AD, у = АВ следующие векторы: а) АС, АО, СО, DO, AD + BC, AD + CO, СО + ОА; б) AM, МС, ВМ, ОМ.
Ответ от учителя
а) Вектор АС можно выразить как разность векторов АВ и ВС: АС = АВ — ВС = у — (х — у) = 2у — х.
Вектор АО можно выразить как среднее арифметическое векторов АС и СО: АО = (АС + СО) / 2 = (2у — х + О) / 2 = у — х / 2 + О / 2.
Вектор СО можно выразить как разность векторов АО и АС: СО = АО — АС = (у — х / 2 + О / 2) — (2у — х) = -у + х / 2 + О / 2.
Вектор DO можно выразить как разность векторов АО и АD: DO = АО — АD = (у — х / 2 + О / 2) — х = у — 3х / 2 + О / 2.
Вектор AD + BC можно выразить как сумму векторов АД и ВС: AD + BC = х + (у — х) = у.
Вектор AD + CO можно выразить как сумму векторов АД и СО: AD + CO = х + (у — х / 2 + О / 2) = у — х / 2 + О / 2.
Вектор СО + ОА можно выразить как разность векторов АО и СА: СО + ОА = АО — АС = (у — х / 2 + О / 2) — (2у — х) = -у + х / 2 + О / 2 (это же значение было получено для вектора СО).
б) Вектор AM можно выразить как половину вектора АD: AM = АD / 2 = х / 2.
Вектор МС можно выразить как разность векторов АС и АМ: МС = АС — АМ = (2у — х) — (х / 2) = 4у / 2 — 3х / 2.
Вектор ВМ можно выразить как разность векторов АМ и АВ: ВМ = АМ — АВ = (х / 2) — у.
Вектор ОМ можно выразить как разность векторов АО и АМ: ОМ = АО — АМ = (у — х / 2 + О / 2) — (х / 2) = у — 3х / 4 + О / 2.
