Вопрос школьника
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, а M- такая точка на стороне AD, что AM=1/2MD. Выразите через векторы x=AD, y=AB следующие векторы: AM, MC, BM, OM
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойствами параллелограмма:
1. Диагонали параллелограмма делятся пополам.
2. Противоположные стороны параллелограмма равны по длине и параллельны.
Из свойства 1 следует, что вектор OA = -OC и вектор OB = -OD.
Также из свойства 2 следует, что векторы AB и DC параллельны и равны по длине, а векторы AD и BC параллельны и равны по длине.
Теперь рассмотрим треугольник AMD. Из условия задачи следует, что вектор AM = 1/2 * MD. Также из свойства 2 следует, что векторы AD и BM параллельны и равны по длине. Следовательно, вектор BM = AD — AM = x — 1/2 * x = 1/2 * x.
Рассмотрим теперь треугольник BMC. Из свойства 2 следует, что векторы BC и AM параллельны и равны по длине. Следовательно, вектор MC = BC — BM = y — 1/2 * x.
Наконец, рассмотрим треугольник OMD. Из свойства 1 следует, что вектор OM = 1/2 * (OA + OD) = 1/2 * (-OC + OB) = 1/2 * (OB — OC) = 1/2 * y.
Итак, мы выразили через векторы x и y следующие векторы:
AM = 1/2 * MD
BM = 1/2 * x
MC = y — 1/2 * x
OM = 1/2 * y
