Вопрос школьника
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Выразите через векторы а = АВ и b = AD векторы: DC + СВ, ВО + ОС, ВО — ОС, ВА — DA.
Ответ от учителя
1. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD делятся пополам, поэтому вектор DC равен вектору AB, а вектор СВ равен вектору AD. Следовательно, вектор DC + СВ равен вектору AB + AD, то есть вектору BD.
2. Вектор ВО равен полусумме векторов AB и CD, а вектор ОС равен полусумме векторов AD и BC. Следовательно, вектор ВО + ОС равен полусумме всех четырех векторов, то есть вектору AC.
3. Вектор ВО — ОС равен разности векторов AB — AD и CD — BC. Но так как AB = CD и AD = BC, то вектор AB — AD равен нулевому вектору, а вектор CD — BC равен вектору BD. Следовательно, вектор ВО — ОС равен вектору -BD, то есть вектору BD, взятому в обратном направлении.
4. Вектор ВА — DA равен разности векторов AB — AD. Но так как AB = CD и AD = BC, то вектор AB — AD равен нулевому вектору. Следовательно, вектор ВА — DA равен нулевому вектору.
