Вопрос школьника
В параллелограмме ABCD известно, что AD = 12 см, АВ = 3 см, биссектрисы углов В и С пересекают сторону AD в точках Е и F соответственно. Найдите отрезок EF.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла: она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. Применим это свойство к треугольнику ABC, в котором угол B равен углу C, а стороны AB и BC равны соответственно 3 см и x (длина стороны параллелограмма). Тогда биссектриса угла B делит сторону AC на отрезки, пропорциональные 3 и x. Обозначим длину отрезка AE через y. Тогда получаем следующую пропорцию:
$$frac{y}{12-y}=frac{3}{x}$$
Решим ее относительно x:
$$x=frac{3(12-y)}{y}$$
Аналогично, для треугольника ACD получаем:
$$frac{12-x}{x}=frac{3}{y}$$
Решим эту пропорцию относительно x:
$$x=frac{36}{3+y}$$
Приравняем найденные выражения для x:
$$frac{3(12-y)}{y}=frac{36}{3+y}$$
Решим полученное уравнение:
$$y=4$$
Теперь можем найти длину отрезка EF:
$$EF=AD-AE-AF=12-4-8= boxed{0}$$
Ответ: 0 см.
