Вопрос школьника
В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок AF (F лежит на стороне ВС). Известно, что ВО = 6 см, OD = 18 см, О — точка пересечения AF и BD. Укажите подобные треугольники и определите коэффициент их подобия.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства параллелограмма. В частности, мы знаем, что диагонали параллелограмма делятся пополам и пересекаются в точке, которая является их средней точкой. Также мы можем использовать свойства подобных треугольников.
Из условия задачи мы знаем, что точка О является точкой пересечения диагонали BD и отрезка AF. Так как диагонали параллелограмма делятся пополам, то мы можем сказать, что точка О является серединой диагонали BD. Значит, BD = 2ОD = 36 см.
Теперь рассмотрим треугольники ABO и CDO. Они являются подобными, так как у них соответственные углы равны (угол ABO равен углу CDO, так как они являются вертикальными углами, а угол BOA равен углу DOC, так как они являются смежными углами). Также у них соответственные стороны пропорциональны: AB/CD = BO/DO = 1/3 (так как BD = 36 см, BO = BD/3 = 12 см, DO = BD/2 = 18 см, AB = BO + ВО = 18 см, CD = DO + OC = 24 см).
Теперь рассмотрим треугольники AОD и CОB. Они также являются подобными, так как у них соответственные углы равны (угол AОD равен углу CОB, так как они являются вертикальными углами, а угол ОDA равен углу ОCB, так как они являются смежными углами). Также у них соответственные стороны пропорциональны: AD/BC = ОD/BO = 3/1 (так как BD = 36 см, BO = BD/3 = 12 см, ОD = BD/2 = 18 см, AD = AB + BD = 30 см, BC = CD — BD = 12 см).
Из этих двух пар подобных треугольников мы можем выразить отношение сторон AD и BC: AD/BC = (AB + BD)/(CD — BD) = (18 + 36)/(24 — 36) = -2. Значит, коэффициент подобия треугольников AОD и CОB равен -2.
Ответ: треугольники AОD и CОB являются подобными с коэффициентом подобия -2.
