Вопрос школьника
В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 12 см, ∠A = 45°. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ BD _I_ AD.
Ответ от учителя
Поскольку диагональ BD параллельна стороне AD, то угол между BD и AB равен 180° — 45° = 135°. Также из параллельности диагоналей следует, что угол между BD и BC также равен 135°. Таким образом, треугольники ABD и BCD являются равнобедренными, и их основания AD и BC равны.
Пусть основание равнобедренного треугольника ABD равно x. Тогда высота этого треугольника равна x, а высота равнобедренного треугольника BCD равна 12 — x. Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна:
S = x(12 — x)
Чтобы найти максимальную площадь, нужно найти значение x, при котором функция S достигает максимума. Для этого можно взять производную функции S и приравнять ее к нулю:
dS/dx = 12 — 2x = 0
Отсюда получаем, что x = 6. Таким образом, максимальная площадь параллелограмма равна:
S = 6(12 — 6) = 36 см².
