Вопрос школьника
В параллелограмме ABCD точка М — середина стороны CD, N — точка на стороне AD, такая, что AN : ND = 1:2. Выразите векторы CN и MN через векторы b = ВС и а = ВА.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойствами параллелограмма:
1. Вектор AB = DC, вектор BC = -BA (знак минус означает, что вектор направлен в противоположную сторону).
2. Вектор MN = 1/2 * (CD — AD).
3. Вектор AN = 1/3 * (AB + AD).
4. Вектор CN = BC + BN.
Из условия задачи имеем:
AN : ND = 1:2, то есть AN = 1/3 * (AB + AD), ND = 2/3 * (AD — AB).
Также из условия задачи следует, что вектор MD = 1/2 * (CD — AD) = MN.
Теперь можем выразить векторы CN и MN через векторы b = ВС и а = ВА:
CN = BC + BN = -BA + BN = -BA + (AN — AB) = -BA + (1/3 * (AB + AD) — AB) = -2/3 * BA + 1/3 * AD.
MN = MD = 1/2 * (CD — AD) = 1/2 * (AB + BC) = 1/2 * (AB — BA) = 1/2 * (-2 * BA) = -BA.
Таким образом, получили выражения для векторов CN и MN через векторы b и а:
CN = -2/3 * BA + 1/3 * AD,
MN = -BA.
