Вопрос школьника
В параллелограмме ABCD точки К и F — середины сторон АВ и AD соответственно, а диагонали пересекаются в точке О. Вычислите периметр параллелограмма, если OF = 7 см, а длина отрезка ОК на 2 см больше длины отрезка OF.
Ответ от учителя
Поскольку точки К и F являются серединами сторон АВ и AD соответственно, то стороны AB и AD параллелограмма равны между собой и равны двойной длине отрезка OF, то есть AB = AD = 2OF = 14 см.
Также из условия задачи известно, что длина отрезка ОК на 2 см больше длины отрезка OF, то есть OK = OF + 2 см = 9 см.
Рассмотрим треугольник ОКВ, где В — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Поскольку точка К является серединой стороны AB, то отрезок КВ делит сторону AD пополам, то есть АВ = 2КВ. Также отрезок ОК делит сторону ВС пополам, то есть ВС = 2ОК = 18 см.
Из теоремы Пифагора для треугольника ОКВ получаем:
$OV^2 = OB^2 + BV^2 = (OF + OK)^2 + (frac{1}{2}BC)^2 = 7^2 + 9^2 + (frac{1}{2}AB)^2 = 130 + 49 = 179$
Отсюда получаем, что длина диагонали ОВ равна $OV = sqrt{179}$ см.
Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен:
$P = 2(AB + AD) = 2(2OF + 2OK) = 4(OF + OK) = 4 cdot 16 = 64$ см.
