Вопрос школьника
В параллелограмме АВСD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр параллелограмма, если DК = 12, РК = 18, ВР = 15
Ответ от учителя
Пусть угол D равен α. Так как биссектриса угла D делит его на два равных угла, то угол КDC также равен α. А значит, угол КРВ также равен α, так как он смежный с углом КДС.
Так как угол КРВ равен α, то угол ВКР равен 180° — α, так как сумма углов треугольника ВКР равна 180°. Но угол ВКР также равен углу ВСD, так как они соответственные при параллельных прямых. Значит, угол ВСD тоже равен 180° — α.
Теперь рассмотрим треугольник КРВ. Он равнобедренный, так как КР = РВ. Значит, угол КВР равен углу ВКР, то есть 180° — α. Но угол КВР также равен углу КДС, так как они соответственные при параллельных прямых. Значит, угол КДС тоже равен 180° — α.
Таким образом, углы КДС и ВСD равны между собой и дополняют друг друга до 180°. Значит, эти два угла являются смежными углами параллелограмма, а значит, стороны КД и ВС равны между собой. Обозначим их общую длину через х.
Тогда из треугольника КРК получаем, что РК = КР = 18. Из треугольника ВРК получаем, что ВК = КР — ВР = 3. Из треугольника КДК получаем, что КД = ДК = 12. Из треугольника ВКД получаем, что ВД = КД — ВК = 9.
Теперь можем выразить все остальные стороны параллелограмма через х:
АК = ВД = 9
КС = РС = ВР — ВК = 12
АС = ВС = х
Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон:
P = 2х + 2·9 + 2·12 = 2х + 42
Осталось найти х. Для этого рассмотрим треугольник АКС. Он прямоугольный, так как угол К равен сумме углов А и С, а они в сумме дают 180°. Значит, по теореме Пифагора:
х² = АК² + КС² = 9² + 12² = 225
Отсюда х = 15. Подставляем в формулу для периметра:
P = 2·15 + 42 = 72
Ответ: периметр параллелограмма равен 72.
