Вопрос школьника
В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О, длина диагонали ВD равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников АОD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника АОВ, равен 5. Найдите площадь параллелограмма АВСD
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник $AOD$. Он описан около окружности с центром в точке $O$ и радиусом $r_1$. Также, мы знаем, что расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $AOD$ и $COD$, равно 16. Значит, расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $COD$ и $COB$, также равно 16. Обозначим радиус окружности, описанной около треугольника $COD$, как $r_2$.
Таким образом, мы получаем, что $r_1 + r_2 = 16$. Также, заметим, что треугольник $AOB$ также описан около окружности с центром в точке $O$, но радиусом $r_1 + r_2$. Значит, $r_1 + r_2 = 5$, откуда $r_1 = 2$ и $r_2 = 3$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Он описан около окружности с центром в точке $O$ и радиусом $r_3$. Заметим, что диагональ $BD$ является диаметром этой окружности, поэтому $r_3 = frac{BD}{2} = 6$.
Теперь мы можем найти высоту параллелограмма $ABCD$ на сторону $AB$. Обозначим эту высоту как $h$. Тогда $h^2 = r_1^2 — (AB/2)^2 = 4 — (AB/2)^2$. С другой стороны, мы можем выразить $h$ через площадь параллелограмма $ABCD$ и длину стороны $AB$: $h = S/AB$. Таким образом, $S/AB = sqrt{4 — (AB/2)^2}$.
Теперь рассмотрим треугольник $COD$. Мы знаем, что его описанная окружность имеет радиус $r_2 = 3$. Значит, высота этого треугольника на сторону $CD$ равна $h_2 = 2r_2 = 6$.
Таким образом, мы получаем систему уравнений:
$$
begin{cases}
S/AB = sqrt{4 — (AB/2)^2} \
h_2 = S/CD = 6
end{cases}
$$
Решая эту систему, мы получаем $AB = 8$ и $S = 48$. Таким образом, площадь параллелограмма $ABCD$ равна 48.
