Вопрос школьника
В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм
Ответ от учителя
Для доказательства того, что EFKM является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны параллельны и равны.
Рассмотрим стороны EK и FM. Из условия задачи известно, что AE = CK и BF = DM. Также из определения параллелограмма следует, что стороны, соединяющие соответствующие вершины параллелограмма, равны между собой. Следовательно, AE = CK = EK и BF = DM = FM.
Таким образом, мы доказали, что стороны EK и FM равны. Осталось показать, что они параллельны.
Для этого рассмотрим углы параллелограмма. Из определения параллелограмма следует, что противоположные углы равны. Также из геометрии параллельных прямых следует, что углы, образованные параллельными прямыми и пересекающими их прямыми, равны между собой.
Рассмотрим углы AED и CKE. Они являются противоположными углами параллелограмма ABCD и, следовательно, равны между собой. Также из условия задачи известно, что AE = CK, что означает, что треугольники AED и CKE равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, углы AED и CKE также равны по третьей стороне.
Аналогично рассмотрим углы BFA и DME. Они также являются противоположными углами параллелограмма ABCD и, следовательно, равны между собой. Также из условия задачи известно, что BF = DM, что означает, что треугольники BFA и DME равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, углы BFA и DME также равны по третьей стороне.
Таким образом, мы доказали, что углы EKF и FMK равны между собой. Из геометрии параллельных прямых следует, что стороны EK и FM параллельны между собой.
Таким образом, мы доказали, что стороны EK и FM равны и параллельны между собой. Следовательно, EFKM является параллелограммом.
