Вопрос школьника
В параллелограмме биссектриса острого угла, который равен 60°, делит сторону на отрезки 3 см и 5 см, считая от вершины тупого угла. Найдите отрезки, на которые эта биссектриса делит меньшую диагональ этого параллелограмма
Ответ от учителя
Пусть параллелограмм ABCD имеет острый угол BAC, который равен 60°. Пусть точка E — точка пересечения биссектрисы угла BAC и стороны BC. Тогда, по определению биссектрисы, угол BAE равен углу CAE.
Так как угол BAC равен 60°, то угол BAE и угол CAE равны по 30°. Также из условия задачи известно, что отрезок BE равен 3 см, а отрезок EC равен 5 см.
Рассмотрим треугольник ABE. Он является прямоугольным, так как угол BAE равен 30°. Тогда, применяя теорему Пифагора, найдем длину отрезка AE:
AE² = AB² — BE²
AE² = (AB + AC)² — BE²
AE² = (AB + AC)² — 3²
AE² = (AB + AC + 3)(AB + AC — 3)
Рассмотрим треугольник AEC. Он также является прямоугольным, так как угол CAE равен 30°. Тогда, применяя теорему Пифагора, найдем длину отрезка CE:
CE² = AC² — EC²
CE² = (AB + AC)² — EC²
CE² = (AB + AC)² — 5²
CE² = (AB + AC + 5)(AB + AC — 5)
Так как точка E является точкой пересечения биссектрисы и стороны BC, то отрезок BE равен отрезку EC. То есть:
3 = BE = EC
Тогда, подставляя это значение в формулы для AE² и CE², получим:
AE² = (AB + AC + 3)(AB + AC — 3)
CE² = (AB + AC + 5)(AB + AC — 5)
3² = (AB + AC — 3)(AB + AC — 3)
Так как отрезок BE равен 3 см, а отрезок EC равен 5 см, то отрезок BC равен 8 см. Также из параллелограмма известно, что сторона AB равна стороне CD, а сторона BC равна стороне AD. То есть:
AB = CD
BC = AD = 8
Тогда, подставляя эти значения в формулы для AE² и CE², получим:
AE² = (AB + AC + 3)(AB + AC — 3) = (AB + AC + 3)(CD — AC — 3)
CE² = (AB + AC + 5)(AB + AC — 5) = (AB + AC + 5)(CD — AC — 5)
3² = (AB + AC — 3)(AB + AC — 3)
Так как отрезок BE равен 3 см, а отрезок EC равен 5 см, то отрезок BC равен 8 см. Также из параллелограмма известно, что сторона AB равна стороне CD, а сторона BC равна стороне AD. То есть:
AB = CD
BC = AD = 8
Тогда, подставляя эти значения в формулы для AE² и CE², получим:
AE² = (AB + AC + 3)(CD — AC — 3)
CE² = (AB + AC + 5)(CD — AC — 5)
3² = (AB + AC — 3)(AB + AC — 3)
Решая эту систему уравнений, найдем значения AB и AC:
AB = 4√3 см
AC = √3 см
Теперь найдем отрезки, на которые биссектриса делит меньшую диагональ. Пусть точка F — точка пересечения биссектрисы и диагонали BD. Тогда, так как точка F делит диагональ на две равные части, то отрезок BF равен отрезку FD.
Так как угол BAE равен углу CAF, то треугольники ABE и ACF подобны. Тогда:
AB/AC = BE/CF
4√3/√3 = 3/CF
CF = 3/√3 = √3
Таким образом, отрезки, на которые биссектриса делит меньшую диагональ, равны:
BF = FD = BC/2 = 4 см
CF = √3 см
