Вопрос школьника
В параллелограмме биссектриса тупого угла, который равен 120°, делит сторону на отрезки 6 см и 4 см, считая от вершины острого угла. Найдите отрезки, на которые эта биссектриса делит большую диагональ этого параллелограмма.
Ответ от учителя
Пусть параллелограмм ABCD имеет стороны AB и BC, большую диагональ AC и меньшую диагональ BD. Пусть точка пересечения биссектрисы тупого угла с стороной AB равноудалена от точек A и B и находится на расстоянии x от точки A. Тогда, так как биссектриса делит угол на две равные части, угол ABD равен 60°.
Так как треугольник ABD является равнобедренным, то угол ADB также равен 60°. Тогда угол BDC равен 120° — 60° = 60°. Таким образом, треугольник BDC также является равнобедренным.
Пусть точка пересечения биссектрисы с стороной BC равноудалена от точек B и C и находится на расстоянии y от точки B. Тогда, так как биссектриса делит угол на две равные части, угол BCD равен 60°.
Так как треугольник BCD является равнобедренным, то угол CBD также равен 60°. Тогда угол ABD равен 120° — 60° = 60°. Таким образом, треугольник ABD также является равнобедренным.
Из равнобедренности треугольников ABD и BCD следует, что AB = AD и BC = CD. Также из равнобедренности треугольников ABD и BCD следует, что угол ADB равен углу BDC, а угол ABD равен углу CBD.
Таким образом, треугольники ABD и BDC подобны, и мы можем записать следующее соотношение между сторонами:
AB/BD = BC/DC
Так как AB = AD и BC = CD, мы можем записать:
AD/BD = BC/CD
Также мы знаем, что AD + DC = AC. Подставляя AD = AB и DC = BC, получаем:
AB + BC = AC
Теперь мы можем решить систему уравнений:
AD/BD = BC/CD
AB + BC = AC
Подставляя AD = AB и DC = BC, получаем:
AB/BD = BC/BC
AB + BC = AC
Отсюда следует, что AB = BD и AC = 2AB. Таким образом, большая диагональ AC делится биссектрисой тупого угла на отрезки 4AB и 2AB. Из условия задачи мы знаем, что отрезки, на которые биссектриса делит сторону AB, равны 6 см и 4 см. Таким образом, мы можем записать:
x/6 = (AB — x)/4
Решая это уравнение, получаем:
x = 12/5 см
Тогда AB = BD = 12 см, а AC = 24 см. Биссектриса тупого угла делит большую диагональ AC на отрезки 4AB = 48 см и 2AB = 24 см. Ответ: 48 см и 24 см.
