Вопрос школьника
В параллелограмме KMNP точка В — середина стороны MN A — точка на отрезке PN, такая, что РА : AN = 2:1. Выразите векторы МА и АВ через векторы т = КМ и п = КР.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойствами параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.
2. Диагонали параллелограмма делятся пополам.
Из свойства 1 следует, что векторы КМ и ПН равны и противоположно направлены:
КМ = -ПН
Из свойства 2 следует, что вектор МН является диагональю параллелограмма и делится пополам точкой В:
МВ = ВН
Также из условия задачи следует, что вектор РА равен половине вектора ПН:
РА = 1/2 * ПН
АН = 1 — РА = 1 — 1/2 * ПН = 1/2 * ПН
Теперь можем выразить вектор МА через векторы КМ и ПН:
МА = МВ + ВА = ВН + ВА = (ПН/2) + ВА
Найдем вектор ВА. Для этого воспользуемся свойством подобия треугольников:
РА : АН = 2 : 1
Поэтому вектор АН равен половине вектора ПН:
АН = 1/2 * ПН
Тогда вектор ВА равен разности векторов ПН и АН:
ВА = ПН — АН = ПН — 1/2 * ПН = 1/2 * ПН
Подставляем найденное значение вектора ВА в выражение для вектора МА:
МА = (ПН/2) + ВА = (ПН/2) + 1/2 * ПН = 3/2 * ПН
Теперь можем выразить вектор АВ через векторы КМ и ПН:
АВ = ВН — ВА = ПН/2 — 1/2 * ПН = -1/2 * ПН
Итак, мы получили следующие выражения для векторов МА и АВ через векторы КМ и ПН:
МА = 3/2 * ПН
АВ = -1/2 * ПН
