Вопрос школьника
В пирамиде PABCD основание ABCD — квадрат. Ребро РВ перпендикулярно плоскости основания. Объясните, почему (DA) ⊥ (АР) и (DC) ⊥ (СР). Какая из этих «перпендикулярностей» останется, если ABCD будет прямоугольником; ромбом?
Ответ от учителя
Первое утверждение, что (DA) ⊥ (АР), можно доказать следующим образом: ребро РВ перпендикулярно плоскости основания ABCD, а значит, оно пересекает эту плоскость под прямым углом. Так как точка А лежит на плоскости ABCD, то линия, проходящая через точки А и Р, также пересекает эту плоскость под прямым углом. Следовательно, (DA) ⊥ (АР).
Аналогично можно доказать, что (DC) ⊥ (СР). Ребро РВ перпендикулярно плоскости ABCD, а значит, оно пересекает сторону CD под прямым углом. Так как точка С лежит на стороне CD, то линия, проходящая через точки С и Р, также пересекает сторону CD под прямым углом. Следовательно, (DC) ⊥ (СР).
Если ABCD будет прямоугольником, то (DA) ⊥ (АР) и (DC) ⊥ (СР) останутся верными, так как прямоугольник является частным случаем квадрата.
Если ABCD будет ромбом, то (DA) ⊥ (АР) и (DC) ⊥ (СР) уже не будут верными. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом, а значит, (DA) и (DC) не будут перпендикулярны линиям, проходящим через точки А и Р, С и Р соответственно.
