Вопрос школьника
В пирамиде РАВС ∠BAC = 90°, (PB) ⊥ (ABC), |АВ| + |РВ| = 9, |АС|= 2 |ВР|. Найдите расстояние от Р до (АС) в пирамиде, имеющей наибольший объём.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти высоту пирамиды, опущенную на основание АС, и затем расстояние от точки Р до этой высоты.
Обозначим высоту пирамиды через h, а расстояние от точки Р до высоты через x.
Из условия |АС|= 2 |ВР| следует, что |АС| = 2x + h, а |ВР| = x. Также из условия |АВ| + |РВ| = 9 следует, что |АВ| = 9 — |РВ| = 9 — x.
Рассмотрим треугольник АВР. Из него можно выразить высоту h через стороны:
h² = |АР|² — |ВР|² = (9 — x)² — x² = 81 — 18x
Теперь рассмотрим треугольник АСР. Из него можно выразить расстояние x через стороны:
x² + h² = |РС|² = |АС|² — |АР|² = (2x + h)² — (9 — x)² = 4x² + 4xh + h² — (81 — 18x) = 5x² + 4xh — 81
Подставим выражение для h² из первого уравнения во второе:
x² + 81 — 18x = 5x² + 4xh — 81
Выразим h через x:
h = (x² + 81 — 18x) / (4x)
Теперь можем выразить объём пирамиды через h:
V = (1/3) * S * h
где S — площадь основания пирамиды. Поскольку треугольник АСВ прямоугольный, то его площадь равна:
S = (1/2) * |АС| * |ВР| = (1/2) * (2x + h) * x = x² + xh
Подставим выражение для h из предыдущего уравнения:
S = x² + x * (x² + 81 — 18x) / (4x) = (5x³ + 81x — 18x²) / 4
Теперь можем выразить объём пирамиды через x:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * [(5x³ + 81x — 18x²) / 4] * [(x² + 81 — 18x) / (4x)]
Упростим выражение:
V = (5/48) * x * (81x — 2x²) * (x — 9)
Найдём производную этой функции и приравняем её к нулю, чтобы найти максимум объёма:
V’ = (5/48) * (81x — 2x²) * (1 — 2x/9) = 0
Отсюда получаем два корня: x = 0 и x = 81/2. Очевидно, что x не может быть равен нулю, поскольку тогда пирамида вырождается в точку. Значит, максимум объёма достигается при x = 81/2.
Теперь можем найти высоту пирамиды и расстояние от точки Р до высоты:
h = (x² + 81 — 18x) / (4x) = (81/2) / 4 = 20.25
x = 81/2
Расстояние от точки Р до высоты равно:
x * (2/5) = (81/2) * (2/5) = 32.4
Ответ: расстояние от Р до (АС) равно 32.4.
